孩子有权起诉母亲。只要满足《中华人民共和国民事诉讼法》规定的起诉条件，包括与案件的直接利害关系、明确的被告、具体的诉讼请求和事实理由，并属于法院管辖范围，孩子可以起诉未支付抚养费的母亲。因长期未支付抚养费可能对孩子的成长和教育产生负面影响，故通过法律途径维护权益是合理且必要的。
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孩子可尝试与母亲和解，若和解无果再选择起诉。为确保起诉流程顺利进行，需准备充分的证据材料，如起诉书等，并在专业律师的指导下进行。
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针对母亲离家出走的情况，孩子确实可以提起诉讼。首先，可以尝试与母亲协商抚养权问题；若协商无果，可寻求法院帮助，提起抚养权诉讼。法院将综合考虑孩子的年龄及双方的条件等因素作出判决。